Теория вероятностей пособие

Методическое пособие «Введение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

Разделы: Математика

Аннотация

Настоящее методическое пособие в первую очередь нацелено на оказание методической помощи учителям математики, приступающим к преподаванию теории вероятностей и статистики. В нём подробно освещены задачи, стоящие перед курсом теории вероятностей и статистики в средней общеобразовательной школе. Обращается внимание учителя на наиболее важные вопросы курса и на связи между ними. Даны решения и способы записи наиболее важных типовых задач. Большой объем практических заданий поможет учащимся без труда освоить основы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Материал, изложенный в пособии, может быть полезен и школьным учителям при подготовке к урокам, и преподавателям методики обучения математике в школе, и родителям учащихся.

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

Пояснительная записка

В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики. Об этом речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.

В соответствии с федеральным компонентом Государственного стандарта образования и программу по математике за курс основной (средней) школы включаются элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления о жёстких связях, и о случайном. Необходимо научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

Теория вероятностей как наука начала складываться в XVII веке. Источником задач для неё служили азартные игры. В частности, игра в кости, которая тогда была распространена в Западной Европе. В этих задачах главное – выбор равновозможных элементарных событий. Одновременно с развитием теории вероятностей стала развиваться статистика. К XVII веку относятся и первые научные применения статистики в демографии и страховании, идеи о случайных ошибках в измерениях.

Теория вероятностей и статистика долгое время развивались как естественные науки, хотя и с большой математической составляющей. В отрасль математики теория вероятностей превратилась только в XX веке. На аксиоматическую основу её поставил наш великий соотечественник А.Н. Колмогоров. До него некоторые сложные понятия теории вероятностей не были полностью изучены. В школьном курсе мы не касаемся аксиоматики Колмогорова, но пользуемся введёнными им и общепринятыми сейчас понятиями: случайный эксперимент, элементарное событие и так далее.

Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов математики в самых различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило во многих развитых странах вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. В России этот вопрос начал обсуждаться ещё раньше. Ещё в 1914 году он рассматривался на заседании секции математики Российской академии наук, рекомендовавшей включение элементов теории вероятности и статистики в школьные программы.

В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественно – научных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях. Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

В 2003-2004 гг. были изданы специальные дополнения к учебникам математики для 7-9 классов, в которых изложен теоретический материал и приводится большое количество задач и упражнений по элементам статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Материал по данному курсу включён уже в некоторые учебники математики. Но в каждом из них отражён авторский подход к отбору материала и последовательности изложения тем.

При разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе следует руководствоваться следующими положениями:

  • дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистики и их тесной взаимосвязи;
  • подчёркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов;
  • избегать излишнего формализма;
  • избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр;
  • иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей входят в материалы для итоговой аттестации выпускников основной школы. При изучении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе следует ориентироваться на следующее содержание:

  • Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.
  • Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результаты измерений.
  • Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений.

Государственным стандартом образования предусмотрен обязательный минимум, и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

Для основного общего образования, по теме – Элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей на данный момент установлен следующий обязательный минимум:

Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

В результате изучения математики ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов.

В результате изучения элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащийся должен уметь:

  • Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.
  • Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.
  • Вычислять среднее значения результатов измерений
  • Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
  • Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц
  • Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов
  • Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией
Читайте так же:  Договор дарения или купли-продажи автомобиля

Изучение элементов комбинаторики, вероятности, статистики целесообразно начинать в 5 классе и продолжать в течение всего дальнейшего периода обучения (постепенный переход от простого к сложному).

На всех ступенях обучения фактически формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами.

Рассмотрю примерное содержание обучения для каждого этапа обучения.

5-6 классы

Существование и построение комбинаций с какими-либо заданными свойствами. Перебор возможных вариантов.
Достоверное, невозможное, случайное событие. Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных соображений, на классической, статистической основах, с помощью геометрических соображений.
Представление данных. Чтение таблиц, диаграмм.

7-9 классы

Комбинаторные правила произведения и сложения. Решение комбинаторных задач на правила умножения и сложения.
Эксперимент со случайными исходами, случайное событие. Операции над событиями. Частота события. Вероятность события. Вычисление вероятности наступления случайных событий на классической, статистической, геометрической основах.
Первичная обработка статистических данных. Наглядное представление статистической информации. Статистические характеристики. Статистические исследования. Статистическое оценивание и прогноз.

10-11 классы

Размещения, перестановки, сочетания. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
Вероятностное пространство. Вероятность события. Вероятности суммы и произведения событий. Решение задач. [Случайные величины и их характеристики.Понятие о законе больших чисел.]
В ходе изложения вопросов данной линии включаются сведения по историческому становлению и развитию изучаемых явлений.

Цели и задачи раздела

Основная цель изучения раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» – ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчета их числа; ввести понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Изучение темы начинается с решения задач, в которых требуется составить те или иные комбинации элементов и подсчитать их число. Разъясняется комбинаторное правило умножения, которое используется в дальнейшем при выводе формул для подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний.

При изучении данного материала необходимо обратить внимание учащихся на различие понятий «размещение» и «сочетание», сформулировать у них умение определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче.

В данной теме учащиеся знакомятся с начальными сведениями из теории вероятностей. Вводятся понятия «случайное событие», «относительная частота», «вероятность случайного события». Рассматриваются статистический и классический подходы к определению вероятности случайного события. Важно обратить внимание учащихся на то, что классическое определение вероятности можно применить только к таким моделям реальных событий, в которых все исходы являются равновозможными.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, – стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.Не умея и/или не желая учиться, не понимая необходимости этого, подросток тратит много времени и сил на домашние задания, испытывает перегрузку, отсутствие радости и отрицательные чувства к учению. Причины неуспеваемости в средних классах связаны с отсутствием адекватной мотивации учения, со смещением акцентов на формальные элементы учебной деятельности.

Таким образом, решающее значение для развития теоретического мышления и логической памяти имеет организация и мотивация учебной деятельности в средних классах школы, содержание учебных программ, система методов подачи учебного материала и контроля за его усвоением.

Ожидаемые результаты освоения раздела программы

В результате изучения раздела «Элементы комбинаторики и теория вероятностей» обучающийся должен:

Знать/понимать:

  • понятия перестановки, размещения, сочетания и соответствующие формулы для их подсчета;
  • понятия относительной частоты и вероятности случайного события;
  • вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира.

Уметь:

  • решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
  • вычислять средние значения результатов измерений;
  • находить частоту события;
  • находить вероятности случайных событий в простейших случаях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
  • распознавания логически некорректных рассуждений;
  • решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
  • сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
  • понимания статистических утверждений.

Теория вероятностей пособие

Как уже было сказано, закон Гаусса распределения случайных величин имеет многочисленные приложения. По этому закону распределены ошибки измерений приборами, отклонение от центра мишени при стрельбе, размеры изготовленных деталей, вес и рост людей, годовое количество осадков, количество новорожденных и многое другое.

Приведенная формула плотности вероятности нормально распределенной случайной величины содержит, как было сказано, два параметра а и σ , а потому задает семейство функций, меняющихся в зависимости от значений этих параметров. Если применить обычные методы математического анализа исследования функций и построения графиков к плотности вероятности нормального распределения, то можно сделать следующие выводы.

Плотность вероятности f(x)>0 для всех значений х, а потому график функции расположен над осью х.

Ось х является асимптотой графика при х → ± ∞, поскольку . Поэтому на бесконечности график «прижимается» к осих.

Функция f(х) имеет единственную точку максимума х=а, а максимальное значение .

График функции симметричен относительно вертикальной прямой с уравнением х=а.

С помощью второй производной можно убедиться, что точки графика

являются точками его перегиба.

Исходя из полученной информации, строим график плотности вероятности f(x) нормального распределения (он называется кривой Гаусса − рисунок).

Выясним, как влияет изменение параметров а и σ на форму кривой Гаусса. Очевидно (это видно из формулы для плотности нормального распределения), что изменение параметра а не меняет форму кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вправо или влево вдоль оси х. Зависимость от σ сложнее. Из проведенного выше исследования видно, как зависит величина максимуму и координаты точек перегиба от параметра σ . К тому же надо учесть, что при любых параметрах а и σ площадь под кривой Гаусса остается равной 1 (это общее свойство плотности вероятности). Из сказанного следует, что с ростом параметра σ кривая становится более пологой и вытягивается вдоль оси х. На рисунке изображены кривые Гаусса при различных значениях параметра σ ( σ1 2 . Таким образом, для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, получились следующие основные ее числовые характеристики:

.

Поэтому вероятностный смысл параметров нормального распределения а и σ следующий. Если с.в. Х распределена нормально с параметрами а и σ, то ее среднее значение равно а, а среднее квадратическое отклонение равно σ.

Найдем теперь функцию распределения F(x) для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, используя выписанное выше выражение для плотности вероятности f(x) и формулу . При подстановкеf(x) получается «неберущийся» интеграл. Все, что удается сделать для упрощения выражения для F(x), это представление этой функции в виде:

Читайте так же:  Федеральный закон об ооо консультант

,

где Ф(х) − так называемая функция Лапласа, которая имеет вид

.

Интеграл, через который выражается функция Лапласа, тоже является неберущимися (но при каждом х этот интеграл может быть вычислен приближенно с любой наперед заданной точностью). Однако вычислять его и не потребуется, так как в конце любого учебника по теории вероятностей есть таблица для определения значений функции Ф(х) при заданном значении х. В дальнейшем нам понадобится свойство нечетности функции Лапласа: Ф(−х)=Ф(х) для всех чисел х.

Теория вероятностей и математическая статистика. Обзорная лекция

для студентов 2 курса всех специальностей

Кафедра Высшей математики

Автор: к.э.н., проф. Н. Ш. Кремер

Вашему вниманию предлагается обзорная (установочная) лекция профессора Н.Ш.Кремера по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов второго курса ВЗФЭИ.

В лекции обсуждаются задачи изучения теории вероятностей и математической статистики в экономическом вузе и ее место в системе подготовки современного экономиста, рассматривается организация самостоятельной работы студентов с использованием компьютерной обучающей системы (КОПР) и традиционных учебников, даются обзор основных положений данного курса, а также методические рекомендации по ее изучению.

Среди математических дисциплин, изучаемых в экономическом вузе, теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во-первых, она является теоретической базой статистических дисциплин. Во-вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении закономерностей случайных явлений. Наконец, теория вероятностей и математическая статистика имеет важное методологическое значение в познавательном процессе, при выявлении общей закономерности исследуемых процессов, служит логической основой индуктивно-дедуктивного умозаключения.

Каждый студент второго курса должен иметь следующий набор (кейс) по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»:

1. Обзорную установочную лекцию по данной дисциплине.

2. Учебник Н.Ш. Кремера «Теория вероятностей и математическая статистика» – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2007 (в дальнейшем будем называть просто «учебник»).

3. Учебно-методическое пособие «Теория вероятностей и математическая статистика»/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Вузовский учебник, 2005 (в дальнейшем «пособие»).

4. Компьютерную обучающую программу КОПР по дисциплине (в дальнейшем – «компьютерная программа»).

На сайте института на странице «Корпоративные ресурсы» размещены интернет-версии компьютерной программы КОПР2, обзорной установочной лекции и электронной версии пособия. Кроме того, компьютерная программа и пособие представлены на CD ROM ах для студентов второго курса. Поэтому в «бумажном виде» студенту необходимо иметь лишь учебник.

Поясним назначение каждого из учебно-методических материалов, входящий в указанный набор (кейс).

В учебнике изложены основные положения учебного материала дисциплины, иллюстрируемые достаточно большим числом решенных задач.

В пособии даны методические рекомендации по самостоятельному изучению учебного материала, выделены наиболее важные понятия курса и типовые задачи, даны контрольные вопросы для самопроверки по данной дисциплине, приведены варианты домашних контрольных работ, которые должен выполнить студент, а также методические указания по их выполнению.

Компьютерная программа призвана оказать Вам максимальную помощь в усвоении курса в режиме диалога программы со студентом с тем, чтобы в наибольшей степени восполнить отсутствие у Вас аудиторных занятий, соответствующего контакта с преподавателем.

Для студента, обучающегося по системе дистанционного обучения, первостепенное, определяющее значение имеет организация самостоятельной работы.

Приступая к изучению данной дисциплины, прочтитедо конца настоящую обзорную (установочную) лекцию. Это позволит Вам получить в целом представление об основных понятиях и методах, используемых в курсе «Теория вероятностей и математическая статистика», и требованиях, предъявляемых к уровню подготовки студентов ВЗФЭИ.

Перед изучением каждой темы ознакомьтесь с методическими рекомендациями к изучению данной темы по пособию. Здесь Вы найдете перечень учебных вопросов данной темы, которые Вам предстоит изучить; выясните, какие понятия, определения, теоремы, задачи являются наиболее важными, которые надо изучить и освоить в первую очередь.

Затем перейдите к изучению основного учебного материала по учебнику в соответствии с полученными методическими рекомендациями. Советуем конспектировать в отдельной тетради основные определения, формулировки теорем, схемы их доказательств, формулы и решения типовых задач. Формулы целесообразно выписывать в специальные таблицы для каждой части курса: теория вероятностей и математическая статистика. Регулярное пользование конспектом, в частности, таблицами формул, способствует их запоминанию.

Лишь после проработки основного учебного материала каждой темы по учебнику можно перейти к изучению этой темы с помощью компьютерной обучающей программы (КОПР2).

Обратите внимание на структуру построения компьютерной программы по каждой теме. После названия темы приводится перечень основных учебных вопросов темы по учебнику с указанием номеров параграфов и страниц, которые необходимо изучить. (Напомним, что перечень этих вопросов по каждой теме приведен также и в пособии).

Затем в краткой форме дается справочный материал по данной теме (или по отдельным параграфам этой темы) – основные определения, теоремы, свойства и признаки, формулы и т.п. В процессе изучения темы Вы также можете вызвать на экран те фрагменты справочного материала (по данной или предыдущим темам), которые необходимы в данный момент.

Затем Вам предлагается учебный материал и обязательно типовые задачи ( примеры), решение которых рассматривается в режиме диалога программы со студентом. Функции ряда примеров ограничиваются выводом на экран по запросу обучаемого этапов правильного решения. Вместе с тем в процессе рассмотрения большинства примеров Вам будут задаваться вопросы того или иного характера. В качестве ответов на одни вопросы следует вводить с клавиатуры числовой ответ, на другие – выбирать правильный ответ (или ответы) из нескольких предложенных.

В зависимости от введенного Вами ответа программа подтверждает его правильность или предлагает, ознакомившись с подсказкой, содержащей необходимые теоретические положения, вновь попытаться дать правильные решение и ответ. Во многих заданиях установлено ограничение на количество попыток решения (при превышении этого ограничения на экран обязательно выводится правильный ход решения). Имеются и такие примеры, в которых количество информации, содержащееся в подсказке, возрастает по мере повторения неудачных попыток ответа.

После ознакомления с теоретическими положениями учебного материала и примерами, которые снабжены подробным разбором решения, Вы должны выполнить упражнения для самоконтроля, чтобы закрепить навыки решения типовых задач по каждой теме. Задания для самоконтроля также содержат элементы диалога со студентом. По завершению решения Вы можете ознакомиться с правильным ответом и сравнить его с тем, который Вы дали.

В завершение работы по каждой теме следует выполнить контрольные задания. Правильные ответы на них Вам не выводятся, а Ваши ответы записываются на жесткий диск компьютера для последующего ознакомления с ними преподавателя-консультанта (тьютора).

После изучения тем 1–7 Вы должны выполнить домашнюю контрольную работу № 3, а после изучения тем 8–11 – домашнюю контрольную работу № 4. Варианты указанных контрольных работ приведены в пособии (его электронной версии). Номер выполняемого варианта должен совпадать с последней цифрой номера Вашего личного дела (зачетной книжки, студенческого билета). По каждой контрольной работе Вы должны проходить собеседование, на котором необходимо показать умение решать задачи и знание основных понятий (определений, теорем (без доказательства), формул и т.п.) по теме контрольной работы. Завершается изучение дисциплины курсовым экзаменом.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Предлагаемая для изучения дисциплина состоит из двух разделов «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Учебное пособие для бакалавриата и магистратуры 2

Год: 2018 / Гриф УМО ВО

Издание является модулем дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». В книге освещены основные идеи теории вероятностей, необходимые для полноценного освоения эконометрики и смежных экономико-математических дисциплин. Изложение сопровождается вопросами для повторения, решенными задачами на экономическую тематику и значительным числом содержательных экономико-статистических задач для самостоятельного решения. Уровень изложения материала ориентирован на 2-й курс экономического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова и предъявляет повышенные требования к пререквизитам, а именно: хорошему знанию элементарной математики, математического анализа, особенно интегрального исчисления, некоторых разделов линейной алгебры.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Читайте так же:  Пенсия на ребенка по потере кормильца в 2018 году

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

  1. Безналичный способ:
    • Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
    • Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
      Например, для ‘ class=»text-primary»>Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для ‘ class=»text-primary»>Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
    • Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.

‘ class=»text-primary»>Наличными оплата принимается через терминалы. Без процентов можно оплатить через отделения салонов связи Евросеть или Связной или через Сбербанк. В терминалах других систем возможно взимание комиссий.

Если оплата производится через салон связи: код платежа необходимо назвать оператору и указать, что платеж для Яндекс.Денег.

Если Вы находитесь за пределами РФ, список компаний, принимающих подобные платежи в Вашей стране, будет виден в окне с кодом платежа.

Возможен ли возврат моего заказа? Возврат средств?

Согласно Постановлению 55 Правительства РФ, книги входят в список непродовольственных товаров, которые не подлежат обмену и возврату. Поэтому, если Вы оплатили и получили заказ, надлежащего качества и в составе, аналогичном оплаченному, возврат не производится.

В остальных случаях возврат заказа и денежных средств обговаривается отдельно. Вы можете связаться с нами по телефону +7 (495) 744-00-12 или электронной почте [email protected]

Доставка заказов печатных книг осуществляется через партнерскую сеть службу доставки. Доставка данной службой осуществляется в пределах Российской Федерации. В некоторые страны СНГ доставка возможна через транспортные компании по согласованию с сотрудниками Издательства.

Обратите внимание, что для корректной и своевременно доставки необходимо верно указать свой ‘ class=»text-primary»>мобильный телефон , чтобы сотрудник курьерской службы мог с Вами связаться. Указывать телефон необходимо, начиная с цифры 9 (без восьмерки)!

При оформлении заказа можно выбрать один из способов доставки:

    С амовывоз с пункта выдачи заказов. На территории России открыто большое количество пунктов выдачи. Для выбора данного способа доставки при оформлении заказа в блоке «Доставка» нажмите на « ‘ class=»text-primary»>Самовывоз », выберите населенный пункт. (Начните печатать название, появится выпадающий список городов. Выбрать нужно из тех, что есть в списке.) После выбора на карте отразятся все возможные пункты выдачи в данном населенном пункте. Карту можно приблизить. Справа от подходящего пункта выдачи в открывшемся окне необходимо нажать кнопку «Выбрать пункт», тогда адрес появится в строке «Адрес самовывоза». В отдельном окне видны часы работы пункта выдачи, ориентировочная дата готовности заказа, стоимость доставки и поясняющая информация (если таковая имеется). В этом же блоке Вы увидите стоимость доставки и срок хранения заказа.

К урьерская (адресная) доставка. Для выбора данного способа доставки при оформлении заказа нажмите на слово « ‘ class=»text-primary»>Курьерская ». Необходимо указать Ваш населенный пункт (начните водить название в строке «Город», выбрать необходимо из появившегося списка). Затем заполните адрес доставки, начиная с улицы. В комментариях можно указать дополнительные сведения. Сотрудник курьерской службы всегда предварительно звонит перед приездом для согласования времени и адреса, однако можно дополнительно подчеркнуть необходимость звонка заранее. Просим обратить внимание, что без подтверждения от Вас готовности принять заказ, курьер не выезжает по адресу! Время ожидания курьера на адресе составляет строго 15 мин.

Выбрать удобную дату доставки можно из списка дней, что выделены зеленым. В этой же форме Вы увидите стоимость курьерской доставки.

Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач.

Справочное пособие предназначено для обучения студентов по учебному курсу «Теория вероятностей». Оно поможет при подготовке к практическим занятиям, зачетам и экзаменам, а студентам заочных отделений — самостоятельно выполнить контрольные работы. В книгу включены разделы: события и вероятности; случайные величины, их распределения и числовые характеристики; некоторые законы распределения случайных величин; закон больших чисел, предельные теоремы. Пособие содержит около 350 примеров с подробными решениями. Приведены определения основных понятий теории вероятностей, формулировки теорем, соответствующие формулы. В конце каждого параграфа помешены задачи для самостоятельного решения, ответы к ним; вопросы по теоретическому материалу. Адресуется студентам и преподавателям вузов.

Содержание
Введение 3
Глава 1. События и вероятности 4
§ 1.1. Классификация событий 4
§ 1.2. Классическое определение вероятности 8
§ 1.3. Комбинаторика и вероятность 13
§ 1.4. Частота события. Статистическое определение вероятности 21
§ 1.5. Геометрические вероятности 25
§ 1.6. Действия над событиями. Соотношения между событиями 38
§ 1.7. Аксиоматическое определение вероятности 44
§ 1.8. Сложение и умножение вероятностей 50
§ 1.9. Формула полной вероятности 67
§ 1.10. Формулы Бейеса 76
Глава 2. Случайные величины, их распределение и числовые характеристики 83
§ 2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины 83
§ 2.2. Функция распределения 93
§ 2.3. Плотность распределения 105
§ 2.4. Математическое ожидание случайной величины 118
§ 2.5. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение 128
§ 2.6. Моменты случайных величин 141
§ 2.7. Функции случайных величин 151
§ 2.8. Двумерные случайные величины 160
Глава 3. Некоторые законы распределения случайных величин 173
§ 3.1. Формула Бернулли 173
§ 3.2. Биномиальное распределение 184
§ 3.3. Распределение Пуассона 192
§ 3.4. Равномерное распределение 201
§ 3.5. Нормальное распределение 207
§ 3.6. Некоторые другие распределения 224
Глава 4. Закон больших чисел. Предельные теоремы 233
§ 4.1. Неравенства Маркова и Чебышева 233
§ 4.2. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли 238
§ 4.3. Теоремы Лапласа 244
Глава 5. Из истории возникновения и развития теории вероятностей 256
§ 5.1. Предыстория теории вероятностей 257
§ 5.2. Первые сочинения по науке о случайном и статистике 259
§ 5.3. Возникновение понятия вероятности 261
§ 5.4. Основные теоремы теории вероятностей 263
§ 5.5. Развитие теории ошибок измерений 265
§ 5.6. Формирование понятий случайной величины, математического ожидания и дисперсии 266
Ответы на вопросы 268
Биографический словарь 271
Приложение 280
Литература 284
ВВЕДЕНИЕ
Справочное пособие к решению задач по высшей математике издается в четырех частях:
• Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
• Математический анализ и дифференциальные уравнения.
• Теория вероятностей.
• Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление.
Данная книга предназначена для обучения студентов вузов по разделу курса высшей математики «Теория вероятностей». Книга включает следующие разделы: события и вероятности; случайные величины, их распределение и числовые характеристики; некоторые законы распределения случайных величин; закон больших чисел, предельные теоремы; из истории возникновения и развития теории вероятностей.
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся теоретические сведения: определения основных понятий, формулировки теорем, соответствующие формулы. Далее следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности. Затем предлагаются задачи для самостоятельного решения. Приведены ответы к задачам, к некоторым из них даны указания. Каждый параграф завершается вопросами теоретического характера, чтобы читатель смог проконтролировать свои знания изучаемого материала. В конце книги сообщены ответы на некоторые вопросы. Пятая глава содержит краткий очерк возникновения и развития теории вероятностей. Книгу завершает биографический словарь, в котором приведены краткие сведения о жизни и деятельности ученых, чьи научные исследования были посвящены проблемам теории вероятностей.