Пособие для подготовки к олимпиадам по математике

Подготовка учащихся к олимпиадам по математике

Разделы: Математика

В последние годы проводится много различных математических олимпиад. Кроме традиционных олимпиад, проводятся также дистанционные, устные, заочные, нестандартные и другие виды олимпиад. Математические олимпиады не только дают ценные материалы для суждения о степени математической подготовленности учащихся и выявляют наиболее одаренных и подготовленных молодых людей в области математики, но и стимулируют углубленное изучение предмета.

Основная цель школьных олимпиад:

  • выявление талантливых ребят,
  • развитие творческих способностей и интереса к научно-исследовательской деятельности у обучающихся,
  • создание необходимых условий для поддержки одаренных детей,
  • распространение научных знаний среди молодежи.

Олимпиады готовят учащихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Победы учащихся на олимпиадах международного и всероссийского уровней являются достаточным основанием для зачисления в вуз на льготных условиях.

Как добиться успешного участия школьника в математической олимпиаде? А как добиться хороших результатов в спорте? Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться. Для успеха в конкурсной математике, конечно, нужно решать задачи. Успех связан не только со способностями, но и со знанием классических олимпиадных задач. Поэтому к олимпиаде надо серьёзно готовиться. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа.)

Некоторые мои направления работы по подготовке учащихся к олимпиадам.

Работа на уроке.

Решение олимпиадных задач, связанных с темой урока.

На уроке всегда можно найти место задачам, развивающим ученика, причем в любом классе, по любой теме.

В пятом классе при изучении темы «Натуральные числа» можно предложить много разнообразных заданий, например:

Как, используя цифру 5 пять раз, знаки арифметических действий и скобки, выразить все натуральные числа от 0 до 10 включительно?

В шестом классе при изучении темы «Нахождение дроби от числа» следующие типы задач:

Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену на него увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. Какова стала цена в итоге?

При изучении темы » Степень с натуральным показателем» в седьмом классе предложить такие:

1. Сравнить: 65 23 и 255 17

2. Докажите, что 13+13 2 +13 3 +13 4 +:+13 2009 +13 2010 делится нацело на 7.

И таких примеров можно привести большое количество. Методической литературы для подборки заданий достаточно. Опыт мой и моих коллег показывает, большие трудности у учеников вызывают геометрические задачи. Хотя именно геометрия прекрасно развивает нестандартное мышление и выделяет людей способных заниматься математикой. Данный тип олимпиадных задач является самым обширным. Это задачи на разрезание, на построение, на нахождение углов; задачи, решение которых содержит идею, связанную с дополнительным построением.

Ребусы, анаграммы, криптограммы, софизмы на уроке.

Для развития интереса к решению нестандартных задач по математике в программу урочных занятий включаю рассмотрение занимательных задач, ребусов (Приложение 1), задач-шуток, анаграмм и криптограмм, софизмов (Приложение 2), задач прикладного характера.

Упражнения на классификацию, абстрагирование и аналогию.

В процессе обучения в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включается индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Решение олимпиадных заданий вносит в формирование этих качеств мышления важную компоненту. Например, при выполнении упражнений, предназначенных для освоения приемов умственной деятельности «анализ» и «синтез», развивается гибкость мышления. А освоение приемов «абстрагирование» и «обобщение» способствует глубине мышления.

Творческие и олимпиадные домашние задания.

В качестве одного из путей подготовки к олимпиадам предлагаю задания на дом типа: «Составь задачу, аналогичную составленной в классе»; «Придумайте ребусы по теме»; » Составьте кроссворд (анаграмму, софизм и т.д.); «Придумайте задачу-сказку по теме» и т.п. Часто в качестве домашнего задания предлагаю домашние олимпиады, используя олимпиадные задачи прошлых лет. Рекомендую учащимся пользоваться дополнительной литературой, вести поиск решения задач, решать их самостоятельно. Учиться надо не тому, что легко получается. Ценно любое напряжение сил. «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью», — сказал Л.Н.Толстой. И с ним можно только согласиться, так как учащиеся прочно усваивают только то, что прошло через их усилие. Нет ничего необычного в том, если иногда и сильные учащиеся не справляются с домашним заданием.

Но все же работа с сильными учащимися по математике — работа штучная — как на уроке, так и вне его. И если в классе есть несколько одаренных детей, то с ними необходимо организовать занятия на развитие их одаренности. Ни один талантливый ребенок не должен потеряться. После выявления самых «звездных» школьников продолжаю работать с ними уже индивидуально.

Каждый учитель под внеклассной работой понимает необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Внеклассная работа может осуществляться в самых разнообразных видах и формах. Для себя выделяю следующие три вида внеклассной работы.

Индивидуальная работа — такая работа, когда учитель принимает решение о выборе методики в каждой конкретной ситуации, зависимо от способностей и знаний ученика.

Групповая работа — систематическая работа, проводимая с достаточно постоянным коллективом учащихся. К ней отношу факультативы, кружки, спецкурсы, элективные курсы. В процессе таких занятий происходит расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Массовая работа — эпизодическая работа, проводимая с большим детским коллективом. К данному виду отношу вечера, научно — практические конференции, недели математики, конкурсы, соревнования и разного вида олимпиады.

Для подготовки к олимпиадам по возможности использую все эти формы.

В содержание внеклассной работы с учащимися, интересующимися математикой, включаю вопросы, выходящие за рамки школьной программы, но примыкающие к ней. В старших классах учитываю профиль, который выбрали учащиеся.

Неотъемлемой частью современного учебного процесса, становятся ИКТ. Использование ИТ во внеклассной работе дает возможность для повышения мотивации обучения, индивидуальной активности, формирования информационной компетенции, свободы творчества, интерактивности обучения. Использование информационно-компьютерных технологий способствуют реализации принципа индивидуализации обучения, столь необходимого для одаренных учащихся, при подготовке к олимпиадам. Стараюсь предоставлять ученикам возможность пользоваться передовыми информационными технологиями. Ведь учитель сегодня должен не просто учить, а учить учиться. В своей работе опираюсь на интернет источники, позволяющие разнообразить теоретический материал и практические задания. При подготовке к занятиям пользуюсь http://www.all math.ru, очень удобно, вся математика в одном месте. Учащимся рекомендую http://www.math-on-line.com, http://tasks.ceemat.ru, сайты содержат теоретический материал по разнообразным темам, помимо этого выложены олимпиадные задачи с подробным решением, игры, конкурсы по математике.

Важным направлением подготовки детей к олимпиадам считаю заочную работу. Некоторые вузы, журналы, газеты часто объявляют различные конкурсы для любителей решать разнообразные задачи. Выполнение таких заданий способствует подготовке учащихся к олимпиаде.

Сегодня получила значительное развитие заочная олимпиада, которая обладает неоспоримыми достоинствами: доступностью, дешевизной, простотой организации, протяженностью во времени. Задания либо рассылают по почте управлениям образования, либо размещают в Интернете на сайтах образовательных учреждений. Олимпиады для школьников год от года набирают всё большую популярность. Надо ли в них участвовать? И в каких именно — ведь количество их растёт со скоростью снежного кома?

Цель заочных олимпиад — дать импульс к саморазвитию и творческому поиску, в котором рождается подлинный интерес к науке и познанию. Участие в таком конкурсе способствует расширению кругозора и интеллектуальному росту учащихся, помогает профессиональному самоопределению старшеклассников. Удовольствие от выполнения заданий и радость победы лауреата и участника могут зажечь путеводную звезду и привести к развитию исследовательских качеств личности, так необходимых современному человеку. Призеры получают памятные сувениры и дипломы. Такие испытания больше оказывается развлекательно-познавательным. В то же время именно это позволяет делать их игровыми (в том числе компьютерными), интегрированными, эвристическими и т. п., основанными не только на школьной программе, но и далеко выходящими за ее рамки. Вот почему заочные олимпиады так популярны, ведь в первую очередь это отличный шанс проявить свои творческие способности, открыть в себе новые таланты, научиться логически мыслить, грамотно оформлять свои доводы.

В каких заочных олимпиадах принимать участие это наш выбор, просто необходимо найти время разобраться в большом ассортименте предложений и уделять внимание этим интересным конкурсам. Мы с учениками выбрали http://www.centrtalant.ru и http://www.olimpus.org.ru.

Жизнь человека — это движение по пути познания. Каждый шаг может обогащать нас, благодаря новому мы начинаем видеть то, чего ранее не замечали или не понимали, чему не придавали значение.

Опыт моей работы позволяет сделать следующие выводы о необходимых условиях подготовки учащихся к олимпиадам:

  • Повышение интереса учащихся к углубленному изучению предметов.
  • Создание оптимальных условий для выявления одаренных школьников, их интеллектуального развития и профессиональной ориентации;?
  • Пропаганда научных знаний и развитие у школьников интереса к научной деятельности;?
  • Развитие у учащихся логического мышления, умения интегрировать знания и применять их для решения нестандартных задач;?
  • Активизация работы факультативов, кружков, развитие других форм работы со школьниками;?
  • Совершенствование процесса обучения математики через организованную систему работ.?

Литература:

  • Агаханов Н.Х, Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Физмат книга, 2006.
  • Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика.- М.: Бюро Квантум, 2007.
  • Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М.: МЦНМО, 2005
  • Григорьева Г.И. Задания для подготовки к олимпиадам.10-11 классы. Волгоград: «Учитель», 2005.
  • Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. — Волгоград: «Учитель», 2007.
  • Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. Ростов на Дону: ЗАО «Книга», 2005.
  • Перельман Я.И. Занимательная арифметика. -М.: АСТ, 2007.
  • Маркова И.С. Новые олимпиады по математике. — Ростов на Дону: «Феникс», 2005.
  • Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006.
  • Шеховцов В.А. Решение олимпиадных задач повышенной сложности.
  • Волгоград «Учитель», 2009.
  • Фарков А.В. Как готовить учащихся к математическим олимпиадам. М.: «Чистые пруды», 2006.
  • Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы.- 8-е изд., испр. и доп.- М.: Айрис — пресс, 2009.
  • Подготовка учащихся к олимпиадам по математике

    Подготовка учащихся к олимпиадам по математике

    В последние годы проводится много различных математических олимпиад. Кроме традиционных олимпиад, проводятся также дистанционные, устные, заочные, нестандартные и другие виды олимпиад. Математические олимпиады не только дают ценные материалы для суждения о степени математической подготовленности учащихся и выявляют наиболее одаренных и подготовленных молодых людей в области математики, но и стимулируют углубленное изучение предмета.

    Основная цель школьных олимпиад: (слайд)

    выявление талантливых ребят,

    развитие творческих способностей и интереса к научно-исследовательской деятельности у обучающихся,

    создание необходимых условий для поддержки одаренных детей,

    распространение научных знаний среди молодежи.

    Олимпиады готовят учащихся к жизни в современных условиях, в условиях конкуренции. Победы учащихся на олимпиадах международного и всероссийского уровней являются достаточным основанием для зачисления в вуз на льготных условиях.

    Ну прежде всего, какие задания мы будем понимать под олимпиадными задачами по математике ? (слайд) Это задачи повышенной трудности, нестандартные по формулировке или по методам их решения.

    При таком подходе к определению в их число попадут как нестандартные задачи использующие необычные идеи и специальные методы решения, так и стандартные задачи, но допускающие более быстрое, оригинальное решение .

    Классификацию олимпиадных задач построить трудно (есть задачи, которые затруднительно отнести к какому-то виду, они могут и не иметь аналогов; тем более с каждым годом появляются благодаря работе методистов и математиков все новые виды олимпиадных задач).

    В основном во всех книгах, используемых при подготовке к олимпиадам, задачи разделяются на 3 основных типа: (слайд)

    􀀀 задачи на применение специальных методов решений

    (применение принципа Дирихле, метода инвариантов, метода раскрасок, графов, и др.);

    􀀀 задачи, использующие программный материал, но повышенной трудности (арифметические задачи, алгебраические задачи, геометрические задачи);

    􀀀 комбинированные задачи, то есть те, которые используют программный материал и идеи, изучаемые на кружках, факультативах.

    Как добиться успешного участия школьника в математической олимпиаде? Тренироваться, тренироваться и ещё раз тренироваться, — скажете вы. И это правильно. Но ведь прежде необходимо увлечь детей математикой. А как это сделать?

    М ожно выделить несколько этапов(слайд)

    1 этап: Прежде всего, необходимо просто отыскать таких детей, разглядеть среди множества учеников несколько «звездочек», восприимчивых к новой информации, не боящихся трудностей, умеющих находить нетривиальные способы решения поставленных перед ними задач.

    2 этап: Разработка личностно — ориентированного подхода к обучению одаренных, способных детей.

    3 этап: Развитие в способных учащихся психологию лидера, осторожно чтобы это не привело к появлению «звездной болезни». Но и не стесняться показывать свои способности, не бояться выражать свои мысли, хотя бы потому, что они нестандартны и не имеют аналогов.

    Для успешного раскрытия и развития способностей учащихся применяют технологии (слайд)

    1) личностно-ориентированного обучения;

    2) информационно – коммуникационные технологии;

    3) технологию дифференцированного обучения;

    4) технологию исследовательской деятельности;

    5) технологию групповой творческой деятельности;

    6) технологию модульного обучения;

    7) проблемно – поисковая технология (проблемное обучение).

    Для успеха в конкурсной математике, конечно, нужно решать задачи. Успех связан не только со способностями, но и со знанием классических олимпиадных задач.

    Какие формы работы мы используем по подготовке учащихся к олимпиадам.

    1. Работа на уроке. (слайд)

    Решение олимпиадных задач, связанных с темой урока.

    На уроке всегда можно найти место задачам, развивающим ученика, причем в любом классе, по любой теме.

    В пятом классе при изучении темы «Натуральные числа» можно предложить много разнообразных заданий, например:

    Как, используя цифру 5 пять раз, знаки арифметических действий и скобки, выразить все натуральные числа от 0 до 10 включительно?

    В шестом классе при изучении темы «Нахождение дроби от числа» следующие типы задач:

    Читайте так же:  Пошлина за постановку на учет автомобиля в гибдд

    Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену на него увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. Какова стала цена в итоге?

    При изучении темы » Степень с натуральным показателем» в седьмом классе предложить такие:

    И таких примеров можно привести большое количество.(слайд) Методической литературы для подборки заданий достаточно. В положении о проведении муниципального тура ВОШ четко указаны не только тематические задания, но перечислены специальные олимпиадные темы (слайд)( Логические задачи. Истинные и ложные утверждения. «Оценка + пример». Построение примеров и контрпримеров. Принцип Дирихле. Разрезания. Раскраски. Игры. Инвариант. Элементы комбинаторики. Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах))

    . и типовые задания МЭ.

    Опыт показывает, что большие трудности у учеников вызывают геометрические задачи. Хотя именно геометрия прекрасно развивает нестандартное мышление и выделяет людей способных заниматься математикой. Данный тип олимпиадных задач является самым обширным. Это задачи на разрезание, на построение, на нахождение углов; задачи, решение которых содержит идею, связанную с дополнительным построением.

    2. Для развития интереса к решению нестандартных задач по математике в программу урочных занятий включаю рассмотрение занимательных задач, ребусов задач-шуток, анаграмм и криптограмм, софизмов задач прикладного характера.

    3. В процессе обучения в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включается индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Решение олимпиадных заданий на классификацию, абстрагирование и аналогию вносит в формирование этих качеств мышления важную компоненту. Например, при их выполнении развивается гибкость и глубина мышления.

    Творческие и олимпиадные домашние задания.

    В качестве одного из путей подготовки к олимпиадам предлагаю задания на дом типа: «Составь задачу, аналогичную составленной в классе»; «Придумайте ребусы по теме»; » Составьте кроссворд (анаграмму, софизм и т.д.); «Придумайте задачу-сказку по теме» и т.п. Часто в качестве домашнего задания предлагаю домашние олимпиады, используя олимпиадные задачи прошлых лет. Рекомендую учащимся пользоваться дополнительной литературой, вести поиск решения задач, решать их самостоятельно. Учиться надо не тому, что легко получается. Ценно любое напряжение сил (слайды). «Учить надобно не мыслям, а мыслить», ведь «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью», — сказал Л.Н.Толстой. И с этим нельзя не согласиться.

    Но все же работа с сильными учащимися по математике — работа штучная — как на уроке, так и вне его. И если в классе есть несколько одаренных детей, то с ними необходимо организовать занятия на развитие их одаренности. Ни один талантливый ребенок не должен потеряться. После выявления самых «звездных» школьников продолжаю работать с ними уже индивидуально.

    Каждый учитель под внеклассной работой понимает необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Внеклассная работа может осуществляться в самых разнообразных видах и формах. Для себя выделяю следующие три вида внеклассной работы. (слайд)

    Индивидуальная работа — такая работа, когда учитель принимает решение о выборе методики в каждой конкретной ситуации, зависимо от способностей и знаний ученика.

    Групповая работа — систематическая работа, проводимая с достаточно постоянным коллективом учащихся. К ней отношу факультативы, кружки, спецкурсы, элективные курсы. В процессе таких занятий происходит расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

    Массовая работа — эпизодическая работа, проводимая с большим детским коллективом. К данному виду отношу вечера, научно — практические конференции, недели математики, конкурсы, соревнования и разного вида олимпиады.

    Для подготовки к олимпиадам по возможности использую все эти формы.

    Неотъемлемой частью современного учебного процесса, становятся ИКТ. Использование ИТ во внеклассной работе дает возможность для повышения мотивации обучения, индивидуальной активности, формирования информационной компетенции, свободы творчества, интерактивности обучения. Использование информационно-компьютерных технологий способствуют реализации принципа индивидуализации обучения, столь необходимого для одаренных учащихся, при подготовке к олимпиадам. Стараюсь предоставлять ученикам возможность пользоваться передовыми информационными технологиями. Ведь учитель сегодня должен не просто учить, а учить учиться. В своей работе опираюсь на интернет источники, позволяющие разнообразить теоретический материал и практические задания.

    Важным направлением подготовки детей к олимпиадам считаю заочную работу.. Выполнение таких заданий способствует подготовке учащихся к олимпиаде.

    Заочная работа обладает неоспоримыми достоинствами: доступностью, дешевизной, простотой организации, протяженностью во времени. Задания либо рассылают по почте управлениям образования, либо размещают в Интернете на сайтах образовательных учреждений

    Заочные олимпиад дают импульс к саморазвитию и творческому поиску, в котором рождается подлинный интерес к науке и познанию. Участие в таком конкурсе способствует расширению кругозора и интеллектуальному росту учащихся, помогает профессиональному самоопределению старшеклассников. Удовольствие от выполнения заданий и радость победы лауреата и участника могут зажечь путеводную звезду и привести к развитию исследовательских качеств личности, так необходимых современному человеку. Призеры получают памятные сувениры и дипломы. Такое испытания больше оказывается развлекательно-познавательным. В то же время именно это позволяет делать их игровыми (в том числе компьютерными), интегрированными, эвристическими и т. п., основанными не только на школьной программе, но и далеко выходящими за ее рамки. Вот почему заочные олимпиады так популярны, ведь в первую очередь это отличный шанс проявить свои творческие способности, открыть в себе новые таланты, научиться логически мыслить, грамотно оформлять свои доводы.

    В каких заочных олимпиадах принимать участие это наш выбор, просто необходимо найти время разобраться в большом ассортименте предложений и уделять внимание этим интересным конкурсам. Мы с учениками выбрали Либерти, МПЧ, Олимпус, Пятерочку, МСЧ..

    Жизнь человека — это движение по пути познания. Каждый шаг может обогащать нас, благодаря новому мы начинаем видеть то, чего ранее не замечали или не понимали, чему не придавали значение. (слайд) Результат.

    Опыт моей работы позволяет сделать следующие выводы о необходимых условиях подготовки учащихся к олимпиадам:

    Повышение интереса учащихся к углубленному изучению предметов.

    Создание оптимальных условий для выявления одаренных школьников, их интеллектуального развития и профессиональной ориентации;?

    Пропаганда научных знаний и развитие у школьников интереса к научной деятельности;?

    Развитие у учащихся логического мышления, умения интегрировать знания и применять их для решения нестандартных задач;?

    Активизация работы факультативов, кружков, развитие других форм работы со школьниками;?

    Совершенствование процесса обучения математики через организованную систему работ.?

    Агаханов Н.Х, Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: Физмат книга, 2006.

    Васильев Н.Б., Савин А.П., Егоров А.А. Избранные олимпиадные задачи. Математика.- М.: Бюро Квантум, 2007.

    Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М.: МЦНМО, 2005

    Григорьева Г.И. Задания для подготовки к олимпиадам.10-11 классы. Волгоград: «Учитель», 2005.

    Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. — Волгоград: «Учитель», 2007.

    Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. Ростов на Дону: ЗАО «Книга», 2005.

    Перельман Я.И. Занимательная арифметика. -М.: АСТ, 2007.

    Маркова И.С. Новые олимпиады по математике. — Ростов на Дону: «Феникс», 2005.

    Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006.

    Шеховцов В.А. Решение олимпиадных задач повышенной сложности.

    Волгоград «Учитель», 2009.

    Фарков А.В. Как готовить учащихся к математическим олимпиадам. М.: «Чистые пруды», 2006.

    Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы.- 8-е изд., испр. и доп.- М.: Айрис — пресс, 2009.

    Персональный сайт учителя математики

    +7 (951) 702 23 21

    Оставить свои контакты

    Книги для подготовки к олимпиадам

    Математика. Районные олимпиады. 6—11 классы / Агаханов Н.X., Подлипский О.К. — М. : Просвещение, 2010.
    В книге содержатся задачи районных олимпиад по математике для школьников Московской области, проходивших в 1994— 2008 учебных годах. Задачи снабжены подробными решениями. В книге также приведены классические олимпиадные задачи, разбитые по основным темам олимпиадной математики.
    Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков и факультативов, школьников, рекомендуется для подготовки к математическим олимпиадам начальных уровней.

    Математика. Областные олимпиады. 8—11 классы / Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др. — М. : Просвещение, 2010.
    Данная книга содержит условия и решения задач, предлагавшихся на III этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в 1993—2008 гг.
    Книга адресована старшеклассникам, увлекающимся математикой, а также учителям, методистам, руководителям кружков и факультативов, ведущим подготовку обучающихся к математическим олимпиадам различного уровня и другим математическим соревнованиям.

    Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1 / Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др. — М. : Просвещение, 2008.
    Данная книга состоит из двух глав. Первая глава посвящена содержанию математических олимпиад, связи содержания олимпиад с целями, которые должны ими достигаться. В ней также приведены олимпиадные задания, раскрывающие содержание различных разделов школьной математики. Для удобства подготовки к олимпиаде по мере прохождения различных разделов в течение учебного года олимпиадные задания сгруппированы по темам и по классам.
    В книге описаны структура Всероссийской олимпиады школьников по математике, особенности проведения различных этапов, в нее включены практические советы по организации олимпиад. В книге приведены комплекты заданий Всероссийской математической олимпиады школьников различных этапов в 2005/2006 и 2006/2007 гг. К задачам даются подробные решения.

    Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский — М. : Просвещение, 2009.
    Данная книга состоит из двух глав. Первая глава посвящена содержанию математических олимпиад, связи содержания олимпиад с целями, которые должны ими достигаться. В ней также приведены олимпиадные задания, раскрывающие содержание различных разделов школьной математики. Для удобства подготовки к олимпиаде по мере прохождения различных разделов в течение учебного года олимпиадные задания сгруппированы по темам и по классам.
    Вторая глава содержит материалы 3—5 этапов XXXIV Всероссийской олимпиады школьников по математике (2007/2008 учебного года).
    Она адресована школьникам, а также учителям и методистам, разрабатывающим задания для проведения математических олимпиад начальных этапов. Книгу могут использовать также учителя, руководители кружков и факультативов, сами учащиеся, ведущие подготовку к математическим олимпиадам различного уровня, к другим математическим соревнованиям.
    Книга рекомендуется для подготовки комплектов заданий для проведения олимпиад начальных уровней, а также для тематического планирования кружковых и факультативных занятий по математике.

    Математика. Международные олимпиады / Н. X. Агаханов, П. А. Кожевников, Д. А. Терешин. — М. : Просвещение, 2010.
    Книга содержит описание истории Международных математических олимпиад, особенности их проведения и результаты выступления команды России за 1992—2008 гг. В книге приведены задания олимпиад (1997—2008 гг.), а также ответы, решения и указания ко всем заданиям. Материал книги окажет помощь при подготовке учащихся к математическим соревнованиям высокого уровня.

    Ленинградские математические кружки / Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. — Киров, «Аса», 1994.
    Книга обобщает опыт, накопленный многими поколениями преподавателей школьных математических кружков при математико-механическом факультете ЛГУ и ранее недоступный массовому читателю.
    Книга построена в форме задачника, отражающего тематику первых двух лет работы типичного кружка. Она вполне обеспечивает материалом 2–3 года работы школьного математического кружка или факультатива для учащихся 6–9, а отчасти и 10–11 классов. Все тематические главы снабжены методическими комментариями для учителя.
    Пособие адресовано учителям математики и интересующимся математикой учащимся.

    Сборник олимпиадных задач по математике. / Горбачев Н.В. — М.: МЦНМО, 2004.
    В книге собраны олимпиадные задачи разной сложности — как нетрудные задачи, которые часто решаются устно в одну строчку, так и задачи исследовательского типа.
    Книга предназначена для преподавателей, руководителей математических кружков, студентов педагогических специальностей, и всех интересующихся математикой.

    Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. 8-е изд., испр. и доп. / Фарков А.В. — М.: Айрис-пресс, 2009.
    В пособии приведены примерные тексты школьных математических олимпиад для учащихся 5—11 классов с подробными решениями или указаниями для решения.
    Книга будет полезна учителям математики, поскольку содержит рекомендации по составлению текстов школьных математических олимпиад и их проведению, в ней рассмотрены различные подходы к проверке и оценке олимпиадных заданий.

    Московские математические олимпиады 1993—2005 г. / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006.
    В книге собраны задачи Московских математических олимпиад 1993—2005 г. с ответами, указаниями и подробными решениями. В дополнениях приведены основные факты, используемые в решении олимпиадных задач, и избранные задачи Московских математических олимпиад 1937—1992 г.
    Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение требует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размышлений.
    Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков, школьников старших классов, студентов педагогических специальностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математических задач.

    1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике. 3-е изд. / Балаян Э.Н. — Ростов н/Д : Феникс, 2008.
    В пособии рассмотрены различные методы решения олимпиадных задач разного уровня сложности для учащихся 5—11 классов. Часть задач посвящена таким, уже ставшим классическими, темам, как делимость и остатки, уравнения в целых числах, инварианты, принцип Дирихле и т.п. Ко многим задачам даны решения, к остальным — ответы и указания. Авторские задачи (их более 700) отмечены значком (А). В заключительной части книги приводятся занимательные задачи творческого характера, вызывающие повышенный интерес не только у школьников, но и у взрослых читателей.
    Пособие предназначено ученикам 5-11 классов, учителям математики для подготовки детей к олимпиадам, студентам математических факультетов педагогических вузов и всем любителям математики.

    Если приведенных книг Вам оказалось недостаточно, попробуйте заглянуть сюда или сюда, тут их еще больше

    «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!​»

    Дьёрдь Пойа, венгерский математик

    ТОП-6 фильмов о математике

    Математические игры для iOS и Android

    Математика и расцвет цивилизаций

    Поездка в гимназию Зольтау (Германия)

    Победитель Открытого математического турнира

    Стали известны участники II тура отбора в «Сириус»

    Стаж работы 10 лет. Высокие результаты педагогической деятельности, качественная подготовка к ЕГЭ и ОГЭ: десятки выпускников поступили в МГУ, МФТИ, МГТУ им. Баумана, ВШЭ, СпбГУ и др. известные вузы. Эксперт региональной комиссии ЕГЭ по математике. Подробнее

    Читайте так же:  Отчуждение гражданский кодекс

    Работа с одаренными детьми: пособие для подготовки к олимпиадам

    Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «СШ № 31

    с углубленным изучением предметов ХЭП» .

    Потенциал урочно-внеурочной деятельности по математике в работе с «одаренными детьми»

    Автор: Мусатова М.Ю.

    Планы занятий по темам

    Мусатова Марина Юрьевна

    E-mail: marina [email protected]

    Образование:высшее, 1998 г.

    стаж работы: 19 лет

    место работы: МБОУ «СШ № 31 с УИП ХЭП», учитель

    математики, первая квалификационная категория

    Данное пособие содержит лекционный материал по темам, используемым при подготовке к участию в олимпиадах по математике в 5классе, в 6 классе, в 7 классе, в 8 классе.

    Предлагаемый дидактический материал дает возможность активизировать умственную деятельность, осуществить дифференцированный подход к обучению учащихся разной степени подготовленности.

    Пособие адресовано учителям математики.

    Тема 1. Натуральные числа и действия над ними.

    Наша система записи чисел является десятичной, т.е. для записи чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе значение цифры зависит от того места, на котором она стоит в рассматриваемом числе. С помощью только десяти цифр можно записать любое число, например, 25 199 763 025. Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его разбивают справа налево на группы (классы) по три цифры в каждом. Самая левая группа цифр может состоять из одной, двух или трех цифр. Справа налево сначала идет класс единиц, потом класс тысяч, затем класс миллионов, потом класс миллиардов, далее класс триллионов и т.д. В записи числа 25 199 763 025 четыре класса: класс единиц, состоящий из цифр 0,2,5; класс тысяч, состоящий из цифр 7,6,3; класс миллионов — из цифр 1,9,9 и класс миллиардов- из цифр 2,5. Таким образом, записано число, которое называется двадцать пять миллиардов сто девяносто девять миллионов семьсот шестьдесят три тысячи двадцать пять.

    Большие числа на практике встречаются довольно часто: например, за 2000 лет не прошло еще миллиона дней.

    Сколько дней прошло от начала нашей эры до 1 января 2001 года, т.е. за 2000 лет ?А сколько часов, минут, секунд прошло за это время?

    Упражнение 1. Сколько существует двузначных чисел?

    Решение. Всякое двузначное число имеет вид , где цифра принимает девять значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а цифра принимает десять значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, выражение принимает 90 (девяносто) значений, которые в порядке возрастания таковы: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … , 98, 99. Таким образом, самое маленькое двузначное число 10, а самое большое 99.

    Сколько существует трехзначных чисел? Напишите наибольшее и наименьшее трехзначные числа.

    Числа, начинающиеся с единицы и идущие в порядке возрастания, так что каждое следующее на единицу больше предыдущего, называются натуральными, и образуют ряд чисел, который называют натуральным: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

    Натуральные числа появились более двух тысяч лет тому назад и служат людям для счета окружающих их предметов. Число ноль 0 не входит в натуральный ряд чисел. Мы видим, что натуральных чисел бесконечно много и каждое натуральное число, кроме 1, получается из предыдущего прибавлением 1, например 8=7+1, 100=99+1 и т.д .

    Для нумерации страниц книги понадобились все однозначные, двузначные и трехзначные числа. Сколько цифр понадобилось для нумерации всех страниц?

    Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

    В книге 1246 страниц. Какое наименьшее число страниц должен прочитать ученик, чтобы число прочитанных страниц было больше числа непрочитанных страниц в книге?

    Арифметические действия сложения, умножения, вычитания, деления натуральных чисел и свойства этих действий хорошо известны (смотри учебник по математике).

    В книге 124 страницы. Какое число страниц должен прочитать в ней ученик, чтобы число прочитанных страниц было в три раза больше числа не прочитанных?

    Натуральные числа подразделяют на четные и нечетные. Четные числа это такие натуральные числа, которые делятся на 2 без остатка, например, 2, 4, 6, 8, 10, 12,…, а нечетные числа – это те, которые не делятся на 2. Заметим, что четные и нечетные числа чередуются в натуральном ряде чисел.

    Из двух различных натуральных чисел всегда одно больше, а другое меньше. Меньшим является то, которое в натуральном ряде появляется раньше, например, число 12 меньше 26. Результат сравнения двух чисел записывают с помощью знаков > (больше) и 12, 0 0, такие записи называются неравенствами.

    Число 12 меньше, чем 21, а число 21 меньше, чем 40; этот факт можно записать в виде двойного неравенства 12 39>33>6>3>0=0.

    б) Разделим 40 на 5: 40=5·8+0. На первом шаге получили остаток 0. В этом случае НОД(40,5) равен меньшему из чисел, т.е. 5.

    Если натуральное число k делится на числа a и b, то оно называется общим кратным чисел a и b. Наименьшее из таких общих кратных называется наименьшим общим кратным чисел a и b и обозначается НОК(a, b).

    Повторите метод нахождения НОК чисел (через разложение на простые множители) .

    НОК двух чисел равно их произведению, деленному на их НОД, т.е.

    Пользуясь алгоритмом Евклида, найдите НОД и НОК номера вашего дома и почтового индекса.

    Из победителей математической олимпиады был сформирован отряд, в котором больше 100 , но меньше 150 детей. Для отправки в летнюю математическую школу их разместили вначале в 8 , а затем в 10 автобусах. При этом в обоих случаях детей в автобусах оказалось поровну. Сколько в отряде было девочек и мальчиков, если девочек было на 40 человек меньше, чем мальчиков?

    Чтобы найти НОД трех чисел a, b, c , находим НОД(a,b)= d; затем НОД(d,c)= f, тогда НОД(a,b,c)=f.

    Для учеников трех шестых классов школа к новогоднему вечеру закупила шоколадные конфеты: 390, 405 и 420 штук. Сколько подарков получил каждый класс, если в каждом подарке одинаковое количество конфет и число их – наибольшее из всех возможных.

    а) б) в) ; г)

    Даны две равные дроби. Одна из них , а сложив числитель со знаменателем второй дроби, получили 91 . Найдите вторую дробь.

    Укажите различные способы разрезания данной фигуры на 4 равные части, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы считаются различными, если части, получаемые при одном способе разрезания не равны частям, полученным при другом способе).

    Тема: делимость целых чисел.

    Числа 0; 1; -1; 2; -2; 3; -3 … называются целыми, а числа 1; 2; 3… – натуральными. Пусть a и d – целые числа, где d 0. Говорят, что число а делится на число d (пишут a  d) или число d делит число a (пишут da), если существует такое целое число c, что a=d·c. Известно, что если da и db, то d(a+b) и d(a-b). Докажите это. Повторите определения простых и составных натуральных чисел. Имеет место

    Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число, отличное от 1, разлагается в произведение простых чисел и притом единственным образом.

    Так, например, ввиду 360 = 2·2·2·3·3·5, как бы мы не раскладывали 360 в произведение простых чисел, в любое такое разложение будут входить три двойки, две тройки и одна пятерка, причем другие простые числа в разложение числа 360 не будут входить. В частности, для натурального d имеем d360 в том и только в том случае, когда в разложение d входят не более трех двоек, двух троек, и одной пятерки.

    Упражнение 1 . Верно ли, что если натуральное число делится на a и на b, то оно делится и на a·b, если:

    а) a=6, b=10; б) a=5, b=12?

    Решение . а) Неверно, так как, например, 30 6 и 30 10, но 60 не делит 30.

    б) Верно, так как в разложение этого числа должны по крайней мере входить две двойки иодна тройка (оно делится на 12), а также – пятерка (оно делится на 5). Поэтому это число делится на 2·2·3·5=60.

    Задача 5. Известно, что a, b, c, d и f – целые числа, для которых верно: 5a, 3 не делит b, c – четное, 57d и 69f. Верно ли, что:

    а) 53a; б) 62b; в) 105c; г) 5d; д) f – нечетное?

    У Вовочки было 14 монет достоинством в один, два и пять рублей, общей суммой не более 20 рублей. Маме онсказал, что потратил все деньги на покупку жевательных резинок по цене 3 рубля за каждую.

    Правду ли он сказал?

    Ваня и Петя купили на день рождения Маши цветы, Ваня – букет красных гвоздик по 15 рублей за каждую, а Петя – букет белых гвоздик по 2 5 рублей за каждую. Вместе они заплатили 200 рублей. Сколько красных и белых гвоздик купили ребята?

    Повторите определения НОД и НОК натуральных чисел. Определим эти понятия для целых чисел. Пусть a и b– целые числа, из которых хотя бы одно не равняется нулю. Наибольшим общим делителем этих a и b (обозначается (a;b) или НОД(a;b)) называется наибольшее натуральное число, которое делит a и делит b. Пусть c и d – ненулевые целые числа. Наименьшим общим кратным этих чисел (обозначается [c;d] или НОК(c;d)) называется наименьшее натуральное число, которое делится на c и делится на d.

    Упражнение 2 . Найдите (a;b) и [a;b]:

    а) a=1260, b=–1650; б) a=–90, b=539.

    а) Так как а=2·2·3·3·5·7 и │b│ = 2·3·5·5·11, то (a;b)=2·3·5=30 (общая часть разложений │a│ и │b│) и[a;b]=2·2·3·3·5·5·7·11=69300 (объединение разложений │a│ и │b│)

    б) Так как │a│=2·3·3·5 и b=7·7·11, то [a;b]=2·3·3·5·7·7·11=48510 и (a;b)=1.

    Для любых ненулевых целых чисел a и b справедливо равенство (a;b)·[a;b]=│a·b│ (попытайтесь его доказать, используя основную теорему арифметики). Целые числа a и b называют взаимно простыми, если (a;b)=1. Докажите для ненулевых взаимно простых чисел a и b справедливость утверждений: [a;b]=│a·b│ и, если a│c и b│c, то (ab)│c.

    Укажите все целые числа a и b такие, что:

    где q и r — соответственно частное и остаток при делении a на b, с — наименьшее по модулю целое число, равноостаточное с a при делении на b

    Указание Для решения номеров 8-10 помогут равенства (a;b):[a;b] = ab и (a;b)=(b;r)

    Определенный интерес представляют следующие утверждения, на которые можно ссылаться без их доказательств

    Утверждение 1 Остаток при делении числа на 2 (на 5) равен остатку при делении на 2 (на 5) его последней цифры

    Утверждение 2 Остаток при делении числа на 4 (на 25) равен остатку при делении на 4 (на 25) числа, составленного из двух последних цифр данного числа

    Утверждение 3 Остаток при делении числа на 3 (на 9) равен остатку при делении на 3 (на 9) числа, равного сумме цифр данного числа

    Найдите наименьшее по модулю число, равноостаточное при делении на n с числом, записанным с помощью двадцати единиц и двадцати пятерок, если

    Тема 2. Простейшие свойства геометрических фигур

    Упражнение 4 На плоскости расположены два треугольника и две прямые Определите наибольшее возможное число точек пересечения всех прямых и сторон треугольников

    На плоскости расположено n прямых. Как расположить 7 точек, не лежащих на этих прямых, чтобы получилось наибольшее возможное число пересечений данных прямых с отрезками, имеющими концы в этих точках, еслиа) n=1; б) n=2?

    Известно следующее утверждение (попытайтесь его обосновать!) если k прямых разбили плоскость на несколько частей, то (k+1)-я прямая может добавить к этим частям не более (k+1)-ой новой части причем добавится ровно k+1) часть лишь в том случае, когда (k+1)-ая прямая пересечет каждую из этих k прямых в точках отличных от их точек пересечений

    Используя указанное утверждение, определите, на какое наибольшее число частей могут разбить плоскость а) 3 прямых б) 7 прямых в) n прямых?

    Определите наименьшее возможное число прямых, которые могут разбить плоскость на 20 частей. Ответ обосновать.

    По рисункам 1 и 2 определите углы (ab) и (cd)

    рис.2

    Указание. Ответы должны быть записаны с использованием букв а и d . Равные углы на рисунках отмечены одинаково .

    8 класс Делимость целых чисел

    Всякое натуральное число n в десятичной записи имеет вид , где — цифры, причем . Сформулируйте и докажите признаки делимости натуральных

    чисел на числа 2, 5, 4, 25, 3, 9, 8, 16, 11, а также на числа 6, 10, 12, 15, 18, 20 и 36.

    Например, сформулируем и докажем признак делимости на 9.

    Пример 1. Доказать, что натуральное число n делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

    и,

    так как числа …10-1=9 делятся на 9, то из предыдущего равенства следует,

    что n делится на 9 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9.

    Натуральное число записано в десятичной системе при помощи единиц, двоек и пятерок.

    Причем единиц в два раза больше, чем двоек, а пятерок столько же сколько двоек.

    Докажите, что число n составное.

    Пусть a и b — целые числа, где , тогда существуют однозначно определенные целые числа q и r такие,

    что и а=bq+r. Это теорема о делении с остатком, при этом число а- делимое, b- делитель, q- частное

    Пример 2. Написать общий вид целых чисел, которые при делении на 12 дают остаток 5.

    Очевидно, это числа вида 12k+5, где k пробегает множество всех целых чисел .

    Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 дает остаток 1.

    Какой общий вид этих чисел?

    Любое четное число имеет вид 2k, а нечетное 2k+1, где k- некоторое целое число;

    любое целое число имеет также вид 3k+r, где r=0, или r=1, или r=2.

    Найти значения остатков при делении квадратов целых чисел: а) на 4; б) на 3.

    Решение. Так как (2k) 2 =4k 2 и (2k+1) 2 =4k 2 +4k+1=4(k 2 +k)+1,

    то при делении на 4 могут лишь быть остатки 0 или 1.

    Аналогично проверяется, что квадраты целых чисел при делении на 3 дают остатки 0 или 1.

    Читайте так же:  Купить патент на сдачу квартиры

    Доказать что уравнение

    а) при n=1 и n=4 имеет более одного решения в целых числах;

    б) при n=2, n=3 и n=8 не имеет решений в целых числах.

    Каждое натуральное число n>1 однозначно (с точностью до порядка следования сомножителей)

    представляется (факторизуется) в виде произведения простых чисел.

    Пример 4. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1997 и не делящихся на 11?

    Решение. Найдем сначала число чисел не превосходящих 1997 и делящихся на 11.

    Их общий вид: 11k, где k-натуральное число и . Так как 1997=11181+6,

    то получаем и чисел, меньших 1997 и делящихся на 11 будет 181.

    Следовательно, натуральных чисел, не делящихся на 11 и не превосходящих 1997,

    будет .

    Сколько существует натуральных чисел, меньших 1997 и не делящихся ни на 11, ни на 17?

    Пример 5. Доказать, что существует бесконечно много целых значений n, для которых число делится на 13.

    Решение. Имеем тождество

    , из которого следует,

    что делится на 13 только если (n+7) делится на 13, т.е. должно быть n+7=13k и

    значит n=13k–7, где k пробегает множество целых чисел. Все доказано.

    Доказать, что ни при каком целом n число не делится на 169.

    Пример 6. Доказать, что всякое нечетное число можно представить в виде разности квадратовдвух целых чисел.

    Решение Пусть 2k+1=a 2 –b 2 =(a–b)(a+b), тогда можно взять a–b=1 и a+b=2k+1.

    Откуда при всех целых k числа a=k+1 и b=k тоже будут целыми.

    Можно ли представить в виде разности квадратов двух целых чисел числа

    Какие четные натуральные числа можно представить в виде разности квадратов двух целых чисел?

    Доказать, что число 19 можно единственным образом представить в виде разности кубов двух натуральных чисел. Всякое ли простое число можно представить в виде разности кубов двух натуральных чисел?

    Известно, что если p является наименьшим простым числом, делящим составное число n,

    то . В частности, если натуральное число m>1 не делится на простые числа, не

    превосходящие m , то m является простым числом. Попробуйте это доказать.

    Разложить в произведение простых множителей числа

    Доказать, что если p и — простые числа, то тоже простое.

    §2. Углы, связанные с многоугольником и окружностью.

    Известно, что сумма всех внутренних углов любого n-угольника равна (n-2)180.

    Оказывается, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна 360

    Докажите последнее утверждение самостоятельно.

    а) При каких n все углы правильного n- угольника измеряются целыми числами градусов?

    б) Существует ли выпуклый 1997- угольник, у которого все углы измеряются целыми числами градусов?

    Особое место в геометрии занимает тема нахождения углов, связанных с окружностью.

    На рисунке 1 изображен центральный угол АОВ, опирающийся на дугу АСВ,

    а также вписанный угол ADB, опирающийся на эту же дугу.

    Под угловой величиной дуги понимают угловую величину, опирающегося на нее центрального угла

    и пишут ACB = AOB.

    На рисунках 2, 3 и 4 буквы  и  указывают угловые величины отмеченных дуг.

    Имеют место следующие равенства:

    1 ADB = ACB (рис. 1);

    2 ABC =α/2, где ВС- касательная к окружности (рис.2);

    Докажите равенства 2-4.

    Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его каких-то двух противоположных углов равна 180.

    Три окружности пересекаются в одной и той же точке О. Кроме этого первая окружность пересекает вторую еще в точке А, вторая третью–в точке В, а третья первую–в точке С (см. рис.). Точка D лежит на первой окружности, а прямые DA и DC пересекают вторую и третью окружности соответственно в точках E и F. Докажите, что точки F, B и E лежат на одной прямой.

    При́нцип Дирихле́: один из принципов, сформулированных немецким математиком Дирихле.

    Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами; в зале Большого театра 2000 мест. И даже если не все они заполнены, можно смело утверждать, что на спектакле собралось более 366 человек. Но 366 — это максимально возможное число дней в году, считая 29 февраля. Итак, для 367 — го зрителя просто не остается свободной от дней рождений его соседей по залу даты в году.

    Логический прием, использованный в приведенном доказательстве, называется принципом Дирихле – по имени Петера Густава Дирихле (1805-1895) немецкого математика, автора описанного метода.

    Вот общая форма принципа Дирихле:

    Если k∙n+1 предмет разложен в k ящиков, то, по крайней мере, в одном из ящиков лежит не меньше, чем n+1 предмет.

    По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере “зайцев” и “клеток’:

    Если N зайцев сидят в n клетках и N>n, то хотя бы в одной клетке сидит более одного зайца.

    Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века! Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая все новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут быть лишь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться. Дальше делить нет смысла — этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр — период.

    Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную десятичную дробь, либо периодическую — и более ничего!

    Как видим – все гениальное просто, и к этому же относится и принцип Дирихле.

    В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

    Перед нами миллион «кроликов»-елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик»-елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидит по крайней мере два «кролика» – если бы в каждой сидело не более одного, то всего «кроликов»-елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два «кролика»-елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.

    Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

    Остатки по модулю 11 – «клетки», числа – «кролики».

    В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.

    Постройте миллион клеток с номерами от 0 до 999999 и рассадите там людей, поместив каждого ленинградца в клетку, номер которой равен количеству волос на его голове.

    В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

    25 ящиков-«кроликов» рассадим по 3 клеткам-сортам. Так как 25 = 3 • 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N = 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.

    В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.

    Так как перевезено всего 10m + 1 футболистов, то, рассадив их по клеткам-командам, получаем, что в какой-то клетке сидит 11 футболистов.

    Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

    Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14 клеток, в которые мы будем сажать кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в каждой клетке будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в каждой меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27 кроликов, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.

    Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

    Вариантов числа знакомых всего 5: от 0 до 4. Осталось заметить, что если у кого-то 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых.

    Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

    Пусть всего команд n. Тогда вариантов числа команд, с которыми сыграла данная команда n: от 0 до n – 1. Осталось заметить, что если одна команда сыграла со всеми n – 1-й, то никакая другая команда не могла ни с кем не сыграть.

    а) Какое наибольшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?

    б) Какое наименьшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в каждом уголке вида было по крайней мере одно черное поле?

    а) Разбейте доску на 16 квадратиков 2 ? 2 – это клетки; кроликами, конечно, будут черные поля.

    10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

    Из условий следует, что найдутся 7 школьников, решивших 35 – 6 = 29 задач. Так как 29 = 4 • 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.

    Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

    Ответ: 16 королей. Разобьём доску на 16 квадратиков, в каждом может быть не более одного короля.

    Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

    Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

    В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

    Разобьем наш квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.

    Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

    Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 • 320 = 1600 рублей.

    В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.

    Покрасим всю сушу в синий цвет, а все точки, диаметрально противоположные суше – в красный. Тогда обязательно есть точка, которая покрашена в оба цвета. В ней и надо рыть туннель.

    Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.

    Рассмотрите 1988 степеней и их остатки по модулю 1987.

    Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

    Квадраты при делении на 100 могут давать лишь 51 остаток, так как остатки x и 100 – x при возведении в квадрат дают один и тот же остаток.

    Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.

    Рассмотрим 1988 чисел-«кроликов» 1, 11, 111, …, 111 … 11 (1988 единиц) и посадим их в 1987 клеток с номерами 0, 1, 2, …, 1986 – каждое число попадает в клетку с номером, равным остатку от деления этого числа на 1987. Тогда (по принципу Дирихле) найдутся два числа, которые имеют одинаковые остатки при делении на 1987. Пусть это числа 11 … 11 (m единиц) и 11 … 11 (n единиц), причем m > n. Но их разность, которая делится на 1987, равна 11 … 1100 … 00 (m – n единиц и n нулей). Сократим все нули – ведь они не имеют никакого отношения к делимости на 1987 – и получим число из одних единиц, которое делится на 1987.

    Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.

    Если 3m и 3n – степени тройки, дающие один и тот же остаток при делении на 1000, то 3m – 3n = 3n(3m – n – 1) делится на 1000 (мы считаем для определенности, что m > n).

    В клетках таблицы 3 ? 3 расставлены числа – 1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.

    Эти суммы могут принимать лишь 7 разных значений: от – 3 до 3.